Jackknife Approximations to Bootstrap Estimates
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用 Jackknife 近似 Bootstrap 估计
- 研究问题
- 对于独立同分布样本上局部二次的分布泛函估计，Jackknife 能否近似 Bootstrap 的偏差、偏度、方差和分布估计？
- 方法与思路
- 作者分析标准化 Jackknife 矩估计，并将其用于一阶 Edgeworth 展开，比较该分布近似与 Bootstrap 的渐近关系。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称相关矩估计具有一致性，两类方差估计渐近正态且渐近极小极大，分布估计在包括 n 的负二分之一次项内渐近等价。
- 阅读关注点
- 应核对局部二次泛函的正则条件、Jackknife 标准化方式、Edgeworth 展开的误差控制，以及偏度和偏差修正如何用于置信界。
- 阅读边界
- 依据版本未注明的索引摘要；结论针对独立同分布和局部二次泛函框架，不能推广到依赖样本、非光滑统计量或任意重抽样程序。
原文摘要
Let $\hat{T}_n$ be an estimate of the form $\hat{T}_n = T(\hat{F}_n)$, where $\hat{F}_n$ is the sample $\operatorname{cdf}$ of $n \operatorname{iid}$ observations and $T$ is a locally quadratic functional defined on $\operatorname{cdf's}$. Then, the normalized jackknife estimates for bias, skewness, and variance of $\hat{T}_n$ approximate closely their bootstrap counterparts. Each of these estimates is consistent. Moreover, the jackknife and bootstrap estimates of variance are asymptotically normal and asymptotically minimax. The main results: the first-order Edgeworth expansion estimate for the distribution of $n^{1/2}(\hat{T}_n - T(F))$, with $F$ being the actual $\operatorname{cdf}$ of each observation and the expansion coefficients being estimated by jackknifing, is asymptotically equivalent to the corresponding bootstrap distribution estimate, up to and including terms of order $n^{-1/2}$. Both distribution estimates are asymptotically minimax. The jackknife Edgeworth expansion estimate suggests useful corrections for skewness and bias to upper and lower confidence bounds for $T(F)$.