Deep nonparametric regression on approximate manifolds: Nonasymptotic error bounds with polynomial prefactors
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近似流形上的深度非参数回归：具有多项式前因子的非渐近误差界
- 研究问题
- 深度神经网络非参数最小二乘回归的预测误差如何依赖维度，近似低维流形结构能否缓解维数灾难？
- 方法与思路
- 作者为前馈网络经验风险最小化建立非渐近超额风险界，结合 ReLU 对光滑函数的逼近界分析流形与低维集合情形。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称误差界达到极小极大最优速率，维度前因子由指数改为多项式，并提出比较不同网络结构的相对效率概念。
- 阅读关注点
- 应核对近似流形偏离的量化方式、内外在维度的作用、网络规模限制，以及精确流形下最优速率所需条件。
- 阅读边界
- OpenAlex 摘要版本未注明；未列出完整假设与误差界，不能将理论速率改进等同于实际训练或样本外表现更优。
原文摘要
We study the properties of nonparametric least squares regression using deep neural networks. We derive nonasymptotic upper bounds for the excess risk of the empirical risk minimizer of feedforward deep neural regression. Our error bounds achieve minimax optimal rate and improve over the existing ones in the sense that they depend polynomially on the dimension of the predictor, instead of exponentially on dimension. We show that the neural regression estimator can circumvent the curse of dimensionality under the assumption that the predictor is supported on an approximate low-dimensional manifold or a set with low Minkowski dimension. We also establish the optimal convergence rate under the exact manifold support assumption. We investigate how the prediction error of the neural regression estimator depends on the structure of neural networks and propose a notion of network relative efficiency between two types of neural networks, which provides a quantitative measure for evaluating the relative merits of different network structures. To establish these results, we derive a novel approximation error bound for the Hölder smooth functions using ReLU activated neural networks, which may be of independent interest. Our results are derived under weaker assumptions on the data distribution and the neural network structure than those in the existing literature.