A geometrical analysis of kernel ridge regression and its applications
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核岭回归的几何分析及其应用
- 研究问题
- 研究如何从几何角度统一刻画核岭回归的估计误差，并解释多重下降、核矩阵线性化及弱矩条件下的相关现象。
- 方法与思路
- 作者为所有非负正则化参数建立误差上界，并发展弱矩条件下的椭球几何工具、核空间受限同构性质及多项式核集中不等式。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称理论统一部分多重下降证明，建立高斯等价猜想的单侧同构版本，并扩展核矩阵线性化及弱矩条件下的已有结果。
- 阅读关注点
- 应核对设计分布、矩条件和嵌入指数限制，区分非渐近与渐近结论，并厘清单侧同构结果与完整高斯等价命题的差别。
- 阅读边界
- 仅据所给 Crossref 摘要；具体误差界、增长条件和定理证明未提供，不能据此断言一般核或任意设计下均成立。
原文摘要
We obtain upper bounds for the estimation error of Kernel Ridge Regression (KRR) for all nonnegative regularization parameters, offering a geometric perspective on various phenomena in KRR. As applications: 1. We address the Multiple Descents problem, unifying the proofs of (In Proceedings of Thirty Third Conference on Learning Theory (2020) 2683–2711 PMLR) and (Ann. Statist. 49 (2021) 1029–1054) for polynomial kernels in nonasymptotic regime and we establish Multiple Descents for the generalization error of KRR for polynomial kernel under sub-Gaussian design in asymptotic regimes. 2. In the nonasymptotic regime, we have established a one-sided isomorphic version of the Gaussian Equivalence Conjecture for sub-Gaussian design vectors. 3. We offer a novel perspective on the linearization of kernel matrices of nonlinear kernels, extending it to the power regime for polynomial kernels. 4. Our theory extends the results in (J. Mach. Learn. Res. 24 (2023) Paper No. [123]) under weak moment assumption. Our proof is based on three mathematical tools developed in this paper that can be of independent interest: 1. Dvoretzky–Milman theorem for ellipsoids under (very) weak moment assumptions. 2. Restricted isomorphic property in reproducing kernel Hilbert spaces with embedding index conditions. 3. A concentration inequality for finite-degree polynomial kernel functions.