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分类依据与纠错

AI 根据所提供的论文材料归类：摘要研究高维平稳时间序列的谱密度估计与平滑周期图的渐近性质。

time serieshigh-dimensional

反馈分类问题

Marchenko-Pastur laws for Daniell smoothed periodograms

Ben Deitmar首次提交 2024-08-26 · 修订 2025-06-06 · v5arXiv预印本

Daniell 平滑周期图的 Marchenko–Pastur 定律AI 解读 ↓

宏观 · 时间序列高维与机器学习

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arXiv

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arXiv：2408.14618 · v5

首次提交：2024-08-26 · 最近修订：2025-06-06

原站分类：math.ST

收录依据：统计方法、统计理论或金融计量分类，且题名或摘要含计量研究主题

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Ben Deitmar

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Daniell 平滑周期图的 Marchenko–Pastur 定律

研究问题: 高维平稳时间序列的 Daniell 平滑周期图具有怎样的特征值极限，以及维度远小于样本量时是否仍会出现估计不一致？
方法与思路: 作者在维度与平滑窗口共同增长、二者之比趋于正常数的设定下，研究平滑周期图特征值在全部频率上的一致极限。
材料陈述的贡献: 摘要称，相关分量下仍成立 Marchenko–Pastur 定律，并揭示维度远小于样本量也可能不一致；相同过程的样本自协方差未必有该定律。
阅读关注点: 应核对时间依赖和谱密度的条件、特征值是否经过标准化，以及维度增长率、窗口宽度与频率一致收敛的确切含义。
阅读边界: 这是 arXiv 预印本，同行评审与期刊接收均未核实；摘要虽给出部分增长率，但未说明完整过程条件与不一致的具体度量。

GPT-6.1 Sol · 高 · 2026-10-03

原文摘要

Given a sample $X_0,...,X_{n-1}$ from a $d$ -dimensional stationary time series $(X_t)_{t \in \mathbb{Z}}$ , the most commonly used estimator for the spectral density matrix $F(θ)$ at a given frequency $θ\in [0,2π)$ is the Daniell smoothed periodogram $S(θ) = \frac{1}{2m+1} \sum\limits_{j=-m}^m I\Big( θ+ \frac{2πj}{n} \Big) \ ,$ which is an average over $2m+1$ many periodograms at slightly perturbed frequencies. We prove that the Marchenko-Pastur law holds for the eigenvalues of $S(θ)$ uniformly in $θ\in [0,2π)$ , when $d$ and $m$ grow with $n$ such that $\frac{d}{m} \rightarrow c>0$ and $d\asymp n^α$ for some $α\in (0,1)$ . This demonstrates that high-dimensional effects can cause $S(θ)$ to become inconsistent, even when the dimension $d$ is much smaller than the sample size $n$ . Notably, we do not assume independence of the $d$ components of the time series. The Marchenko-Pastur law thus holds for Daniell smoothed periodograms, even when it does not necessarily hold for sample auto-covariance matrices of the same processes.Given a sample $X_0,...,X_{n-1}$ from a $d$-dimensional stationary time series $(X_t)_{t \in \mathbb{Z}}$, the most commonly used estimator for the spectral density matrix $F(θ)$ at a given frequency $θ\in [0,2π)$ is the Daniell smoothed periodogram $$S(θ) = \frac{1}{2m+1} \sum\limits_{j=-m}^m I\Big( θ+ \frac{2πj}{n} \Big) \ ,$$ which is an average over $2m+1$ many periodograms at slightly perturbed frequencies. We prove that the Marchenko-Pastur law holds for the eigenvalues of $S(θ)$ uniformly in $θ\in [0,2π)$, when $d$ and $m$ grow with $n$ such that $\frac{d}{m} \rightarrow c>0$ and $d\asymp n^α$ for some $α\in (0,1)$. This demonstrates that high-dimensional effects can cause $S(θ)$ to become inconsistent, even when the dimension $d$ is much smaller than the sample size $n$. Notably, we do not assume independence of the $d$ components of the time series. The Marchenko-Pastur law thus holds for Daniell smoothed periodograms, even when it does not necessarily hold for sample auto-covariance matrices of the same processes.

摘要来源：arXiv

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