On the Asymptotic Normality of Statistics with Estimated Parameters
含估计参数的统计量的渐近正态性AI 解读 ↓
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含估计参数的统计量的渐近正态性
- 研究问题
- 当统计量中的未知参数必须先估计再代入时，如何证明其渐近正态性，并判断参数估计是否改变最终的极限分布？
- 方法与思路
- 作者考察以变量替代参数估计量后的极限均值导数，建立含估计参数的 U 统计量结果，再通过微分推广到其他统计量族。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称，给出相关 U 统计量和自适应 L 统计量渐近正态的条件，并以判别分类正确率的回代估计等例子说明。
- 阅读关注点
- 应核对极限均值导数判据所需条件、参数估计误差的阶数，以及该判据如何进入 U 统计量和 L 统计量的展开。
- 阅读边界
- 仅据版本未注明的 OpenAlex 摘要，不能把导数为零视为无条件忽略参数估计误差的保证；完整条件和方差表达式未说明。
原文摘要
Often a statistic of interest would take the form of a member of a common family, except that some vital parameter is unknown and must be estimated. This paper describes methods for showing the asymptotic normality of such statistics with estimated parameters. Whether or not the limiting distribution is affected by the estimator is primarily a question of whether or not the limiting mean (derived by replacing the estimator by a mathematical variable) has a nonzero derivative with respect to that variable. Section 2 contains conditions yielding the asymptotic normality of $U$-statistics with estimated parameters. These results generalize previous theorems by Sukhatme (1958). As an example, we show the limiting normality of a resubstitution estimator of a correct classification probability when using Fisher's linear discriminant function. The results for $U$-statistics are extended to cover a broad class of families of statistics through the differential. Specifically, conditions are given which yield the asymptotic normality of adaptive $L$-statistics and an example due to de Wet and van Wyk (1979) is examined.