Sufficiency and Invariance in Confidence Set Estimation
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置信集合估计中的充分性与不变性
- 研究问题
- 构造参数函数的置信集合时，如何联合利用充分性与不变性缩小候选集合估计量的范围，并保留相应的决策论性质？
- 方法与思路
- 作者将随机化集合估计表示为样本与目标参数上的函数，并在乘积空间上定义充分性，联合实施充分性和不变性约简。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称在风险满足特定期望依赖条件时，联合约简得到的集合估计量类在全部不变集合估计量中本质完备，并给出例子。
- 阅读关注点
- 核对随机化集合的表示、乘积空间上的充分性定义，以及风险条件和本质完备性的含义；期望表达式需对照原文确认。
- 阅读边界
- 仅据版本未注明的 OpenAlex 索引摘要；风险条件的数学排版不清，需查原 PDF，不能重构公式或据此扩大完备性结论。
原文摘要
This paper describes how sufficiency and invariance considerations can be applied in problems of confidence set estimation to reduce the class of set estimators under investigation. Let $X$ be a random variable taking values in $\mathscr{X}$ with distribution $P_\theta, \theta \in \Theta$, and suppose a confidence set is desired for $\gamma = \gamma(\theta)$, where $\gamma$ takes values in $\Gamma$. The main tools used are (i) the representation of randomized set estimators as functions $\varphi: \mathscr{X} \times \Gamma \rightarrow \lbrack 0,1 \rbrack$, and (ii) the definition of sufficiency in terms of a certain family of distributions on $\mathscr{X} \times \Gamma$. Sufficiency and invariance reductions applied in tandem to $\mathscr{X} \times \Gamma$ yield a class of set estimators that is essentially complete among all invariant set estimators, provided the risk function depends only on $E_{\theta \varphi} (X, \gamma), (\theta, \gamma) \in \Theta \times \Gamma$. Several illustrations are given.