Weak Convergence of a Two-Sample Empirical Process and a Chernoff-Savage Theorem for $|phi$-Mixing Sequences
φ混合序列的双样本经验过程弱收敛与Chernoff–Savage定理AI 解读 ↓
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φ混合序列的双样本经验过程弱收敛与Chernoff–Savage定理
- 研究问题
- 对于具有平稳依赖的两组随机变量，双样本线性秩统计量能否保持渐近正态性，经验过程的端点行为如何影响这一结论？
- 方法与思路
- 作者采用基于经验过程弱收敛的分析路径，并建立φ混合条件下经验过程在区间两端附近的概率控制结果。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称证明了平稳φ混合序列的双样本线性秩统计量渐近正态性，其结果强度接近所比较的独立序列情形。
- 阅读关注点
- 应核对混合强度、两样本之间的关系、样本量配置及秩得分函数条件，并查明端点控制如何用于主要定理。
- 阅读边界
- 仅据OpenAlex索引摘要，稿件版本未注明；摘要未列完整混合条件及定理假设，不能把结论推广到任意依赖序列或推断刊本变化。
原文摘要
Using Pyke-Shorack (Ann. Math. Statist. (1968) 755-771) approach, based on weak-convergence properties of empirical processes, a Chernoff-Savage theorem concerning the asymptotic normality of two-sample linear rank statistics is proved for stationary $\phi$-mixing sequences $\{X_m\}$ and $\{Y_n\}$ of rv's. This main result (Theorem 4.1) is almost as strong as proved by Pyke and Shorack for sequences of independent rv's. The basic tool employed is the following new result concerning the behavior of empirical process $\{U_m(t): 0 \leqq t \leqq 1\}$ near 0 and 1 under $\phi$-mixing: For given $\varepsilon > 0$, the $P\lbrack(t(1 - t))^{-\frac{1}{2} + \delta}|U_m(t)| \leqq \varepsilon \forall 0 \leqq t \leqq \theta\rbrack, (0 < \delta < \frac{1}{2}, 0 < \theta < \frac{1}{2})$, can be made arbitrarily close to 1 by taking $m$ sufficiently large and $\theta$ sufficiently small.