A Central Limit Theorem for Regularized M-Estimators
正则化M估计量的中心极限定理AI 解读 ↓
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正则化M估计量的中心极限定理
- 研究问题
- 当维度与样本量同阶增长时，正则化经验风险最小化解的线性泛函能否获得定量正态近似及相应波动尺度？
- 方法与思路
- 作者在独立数据列、统一Poincaré不等式、曲率和平滑性条件及二次正则化下，结合稳定性与二阶留一展开证明结果。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称得到以期望为中心、标准差归一化的非退化统计量的Wasserstein正态近似速率，并给出方差上界。
- 阅读关注点
- 应核对非退化性、曲率及平滑条件、线性方向的限制，并区分围绕估计量期望的正态近似与针对真实参数的推断。
- 阅读边界
- 依据arXiv第1版预印本摘要，不能据此声称已同行评审或期刊接收；摘要未提供可行的中心与方差估计或偏误校正。
原文摘要
We prove a quantitative central limit theorem for linear functionals of regularized empirical-risk minimizers in the proportional-dimensional regime \(p=O(n)\). The data columns are independent, not necessarily identically distributed, and satisfy a uniform columnwise Poincaré inequality. Under uniform curvature and smoothness assumptions, and for a quadratic regularizer, we show that every nondegenerate statistic \(\sqrt n\,u^\top\hatθ\), centered by its expectation and normalized by its standard deviation, converges to a standard normal random variable in Wasserstein distance, with rate \(O((\log n)^7n^{-1/4})\). The proof is based on moment and stability bounds for the minimizer, a second-order leave-one-out expansion, and a perturbative normal-approximation argument for functions of independent variables. We also prove the variance upper bound \(\Var(u^\top\hatθ)\le C\norm{u}_2^2/n\), identifying the \(\sqrt n\) fluctuation scale.