Simple Adaptive Estimation of Quadratic Functionals in Nonparametric IV Models
非参数工具变量模型中二次泛函的简便自适应估计AI 解读 ↓
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非参数工具变量模型中二次泛函的简便自适应估计
- 研究问题
- 在算子未知的非参数工具变量逆回归中，如何估计二次泛函，并在函数平滑性和逆问题病态程度未知时自适应选择筛维数？
- 方法与思路
- 作者先研究留一法筛估计量及最优筛维数，再提出 Lepski 型数据驱动选择方法，分别分析不同病态程度下的收敛速度。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称估计量在严重病态及规则轻度病态情形达到极小极大速率，在非规则轻度病态情形则额外损失 √log n 因子。
- 阅读关注点
- 应核对二次泛函的定义、函数类与算子条件、规则和非规则情形的划分，以及自适应筛选择如何实现和推导速率。
- 阅读边界
- 这是 arXiv 预印本，不能据此认定已通过同行评审或获期刊接收；摘要未说明完整正则条件、具体速率公式或有限样本表现。
原文摘要
This paper considers adaptive, minimax estimation of a quadratic functional in a nonparametric instrumental variables (NPIV) model, which is an important problem in optimal estimation of a nonlinear functional of an ill-posed inverse regression with an unknown operator. We first show that a leave-one-out, sieve NPIV estimator of the quadratic functional can attain a convergence rate that coincides with the lower bound previously derived in Chen and Christensen [2018]. The minimax rate is achieved by the optimal choice of the sieve dimension (a key tuning parameter) that depends on the smoothness of the NPIV function and the degree of ill-posedness, both are unknown in practice. We next propose a Lepski-type data-driven choice of the key sieve dimension adaptive to the unknown NPIV model features. The adaptive estimator of the quadratic functional is shown to attain the minimax optimal rate in the severely ill-posed case and in the regular mildly ill-posed case, but up to a multiplicative $\sqrt{\log n}$ factor in the irregular mildly ill-posed case.