Some Properties of the Empirical Distribution Function in the NON-i.i.d. Case
非独立同分布情形下经验分布函数的若干性质AI 解读 ↓
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非独立同分布情形下经验分布函数的若干性质
- 研究问题
- 研究样本相互独立但分布可以不同的情况下，经验分布函数与平均分布函数之间能否建立统一的高概率乘法界。
- 方法与思路
- 作者在连续分布的独立三角阵样本下，建立经验分布与平均分布的上下比较，界限常数不依赖样本量或具体分布。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称，上界适用于全实轴，下界适用于不小于样本最小值的区域；结果可用于异分布样本的秩与次序统计量渐近正态性证明。
- 阅读关注点
- 应核对上下界适用区间的差别、统一性与连续分布条件，以及如何由这些界证明具体秩统计量的渐近正态性。
- 阅读边界
- 依据稿件版本未注明的 OpenAlex 索引摘要；未提供后续正态性结论的具体条件，不能推广到相关样本或离散分布。
原文摘要
For $N = 1, 2, \cdots$ let $X_{1N}, X_{2N}, \cdots, X_{NN}$ be independent rv's having continuous df's $F_{1N}, F_{2N}, \cdots, F_{NN}$. For the set $X_{1N}, X_{2N}, \cdots, X_{NN}$, let us denote by $X_{1:N} \leqq X_{2:N} \leqq \cdots \leqq X_{N:N}$ the order statistics, by $\mathbb{F}_N$ the empirical df and by $\bar{F}_N$ the averaged df, i.e. $\bar{F}_N(x) = N^{-1}\sum^N_{n=1} F_{nN}(x)$ for $x\epsilon(-\infty, \infty)$. It is shown that for each $\varepsilon > 0$ there exists a $0 < \beta(= \beta_\varepsilon) < 1$, independent of $N$, such that for $N = 1, 2, \cdots$, $(a) P(\mathbb{F}_N(x) \leqq \beta^{-1}\bar{F}_N(x), \text{for} x \epsilon (-\infty, \infty)) \geqq 1 - \varepsilon,$ $(b) P(\mathbb{F}_N(x) \geqq \beta\bar{F}_N(x), \text{for} x \epsilon \lbrack X_{1:N}, \infty)) \geqq 1 - \varepsilon.$ Moreover, these assertions hold uniformly in all continuous df's $F_{1N}, F_{2N}, \cdots, F_{NN}$. The theorem can be used to prove asymptotic normality of rank statistics and of linear combinations of functions of order statistics in the case where the sample elements are allowed to have different df's.