Convergence Rates for Regularized Solutions of Integral Equations from Discrete Noisy Data
离散含噪数据下积分方程正则化解的收敛速率AI 解读 ↓
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离散含噪数据下积分方程正则化解的收敛速率
- 研究问题
- 已知积分算子、仅有离散含噪观测时，如何估计再生核空间中的未知函数，并确定观测点加密时的收敛速率？
- 方法与思路
- 作者分析积分方程的正则化解，将收敛速率联系到由已知算子与再生核构成的复合算子的特征值渐近行为。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称给出正则化解收敛速率的计算方法，并应用于 Abel 方程和体视学粒径密度估计，包括正则化直方图的速率。
- 阅读关注点
- 应核对误差与观测点设计的条件、正则化参数选取、收敛所用范数，以及特征值衰减如何决定具体速率。
- 阅读边界
- 索引摘要未注明稿件版本，未给出具体速率或完整条件；不能把这些逆问题结果直接推广为经济模型识别结论。
原文摘要
Given data $y_i = (Kg)(u_i) + \varepsilon_i$ where the $\varepsilon$'s are random errors, the $u$'s are known, $g$ is an unknown function in a reproducing kernel space with kernel $r$ and $K$ is a known integral operator, it is shown how to calculate convergence rates for the regularized solution of the equation as the evaluation points $\{u_i\}$ become dense in the interval of interest. These rates are shown to depend on the eigenvalue asymptotics of $KRK^\ast$, where $R$ is the integral operator with kernel $r$. The theory is applied to Abel's equation and the estimation of particle size densities in stereology. Rates of convergence of regularized histogram estimates of the particle size density are given.