Instance Optimal Sparse Recovery from Nonlinear Observations: A Unified Framework
非线性观测下实例最优的稀疏恢复：统一框架AI 解读 ↓
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非线性观测下实例最优的稀疏恢复：统一框架
- 研究问题
- 面对无相位、单比特和 ReLU 等非线性观测，能否建立统一条件，使高效稀疏恢复算法获得实例最优的误差保证？
- 方法与思路
- 作者以依赖信号的受限近似可逆性条件分析迭代硬阈值算法，并在高斯设计下处理三类观测，结合高维集中界证明。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称，框架为三类问题给出实例最优保证；稀疏相位恢复所需观测数为稀疏度三次方量级，另含对数因子。
- 阅读关注点
- 应核对实例最优的定义、信号依赖条件如何验证、高斯设计和初始化要求，以及测量复杂度、计算成本与保证类型的区别。
- 阅读边界
- 依据 arXiv v1 预印本摘要，同行评审或期刊接收未获验证；“首次”及改进均为作者陈述，完整条件与证明未提供。
原文摘要
This paper develops a unified framework for instance optimal sparse recovery from nonlinear observations. The main ingredient is a signal-dependent restricted approximate invertibility condition (RAIC) of some gradient, which leads to the instance optimality of iterative hard thresholding. Under Gaussian designs, we apply the proposed framework to phaseless, one-bit, and ReLU measurements, which correspond to the problems of sparse phase retrieval, one-bit compressed sensing, and sparse ReLU regression, respectively. For sparse phase retrieval, we propose a variant of thresholded amplitude flow and show its instance optimality under $O(s^3)$ measurements (up to logarithmic factors), where $s$ is the sparsity level. To our best knowledge, this is the first instance optimal efficient algorithm for sparse phase retrieval and complements Gao, Wang and Xu (2016) that achieved this via a computationally intractable program. In one-bit compressed sensing, we establish the instance optimality of normalized binary iterative hard thresholding and strengthen the recent result of Matsumoto and Mazumdar (2024). In sparse ReLU regression, it is shown that a slight variant of the algorithm in Soltanolkotabi (2017) is instance optimal. Moreover, $(\ell_2,\ell_2)$ non-uniform instance optimal guarantees are obtained for these problems. The analysis is built upon a number of high-dimensional concentration bounds, including bounds on restricted eigenvalues and a novel instance-dependent hyperplane tessellation result.