Strong Approximations for Empirical Processes Indexed by Lipschitz Functions
由 Lipschitz 函数索引的经验过程强逼近AI 解读 ↓
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由 Lipschitz 函数索引的经验过程强逼近
- 研究问题
- 如何为多维随机向量上的函数类经验过程建立统一高斯强逼近，并改善 Lipschitz 函数类情形中的逼近速率？
- 方法与思路
- 作者分别研究一般、乘法可分及 Haar 基索引的经验过程，建立统一强逼近，并讨论非参数密度和回归估计应用。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称，Lipschitz 情形的速率得到改善，二维过程可达到 n⁻¹ᐟ²log n，并给出可分过程与 Haar 基的其他结果。
- 阅读关注点
- 应核对各类过程的定义、函数类及分布条件、速率中的对数项，以及不同结果能否直接用于目标估计与推断问题。
- 阅读边界
- 这是 arXiv 预印本，同行评审及期刊接收未核实；摘要未列完整正则条件，不能将所述速率推广至任意函数类。
原文摘要
This paper presents new uniform Gaussian strong approximations for empirical processes indexed by classes of functions based on $d$-variate random vectors ($d\geq1$). First, a uniform Gaussian strong approximation is established for general empirical processes indexed by possibly Lipschitz functions, improving on previous results in the literature. In the setting considered by Rio (1994), and if the function class is Lipschitzian, our result improves the approximation rate $n^{-1/(2d)}$ to $n^{-1/\max\{d,2\}}$, up to a $\operatorname{polylog}(n)$ term, where $n$ denotes the sample size. Remarkably, we establish a valid uniform Gaussian strong approximation at the rate $n^{-1/2}\log n$ for $d=2$, which was previously known to be valid only for univariate ($d=1$) empirical processes via the celebrated Hungarian construction (Komlós et al., 1975). Second, a uniform Gaussian strong approximation is established for multiplicative separable empirical processes indexed by possibly Lipschitz functions, which addresses some outstanding problems in the literature (Chernozhukov et al., 2014, Section 3). Finally, two other uniform Gaussian strong approximation results are presented when the function class is a sequence of Haar basis based on quasi-uniform partitions. Applications to nonparametric density and regression estimation are discussed.