Adaptive estimation of the L2-norm of a probability density and related topics I. Lower bounds
概率密度 L2 范数的自适应估计及相关问题之一：下界AI 解读 ↓
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分类依据与纠错
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反馈分类问题
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代码、数据与补充材料
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概率密度 L2 范数的自适应估计及相关问题之一：下界
- 研究问题
- 从独立观测估计有界密度的 L2 范数时，能否在各向同性或各向异性 Nikolskii 函数类集合上实现最优自适应？
- 方法与思路
- 作者在给定密度函数类上研究自适应估计下界，并在抽象密度模型中建立与任意密度泛函自适应估计相关的通用下界。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称所考虑函数类集合上不存在最优自适应估计量，并提出通用下界；下界紧致性与显式估计构造归于配套论文。
- 阅读关注点
- 应核对最优自适应的定义、损失与函数类范围、不可能性结果的条件，以及本篇下界与配套论文构造的衔接。
- 阅读边界
- 索引摘要未注明稿件版本；不能把配套论文的结果当作本篇已完成的证明，也不能将不可能性推广到所有密度估计问题。
原文摘要
We deal with the problem of the adaptive estimation of the L2–norm of a probability density on Rd, d≥1, from independent observations. The unknown density is assumed to be uniformly bounded and to belong to the union of balls in the isotropic/anisotropic Nikolskii’s spaces. We will show that the optimally adaptive estimators over the collection of considered functional classes do no exist. Also, in the framework of an abstract density model we present several generic lower bounds related to the adaptive estimation of an arbitrary functional of a probability density. These results having independent interest have no analogue in the existing literature. In the companion paper (Cleanthous, Georgiadis and Lepski (2024)), we prove that established lower bounds are tight and provide with explicit construction of adaptive estimators of L2–norm of the density.