Posterior convergence rates of Dirichlet mixtures at smooth densities
光滑密度下 Dirichlet 混合模型的后验收敛率AI 解读 ↓
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光滑密度下 Dirichlet 混合模型的后验收敛率
- 研究问题
- 当真实密度二阶连续可微时，使用正态 Dirichlet 混合先验进行贝叶斯密度估计，后验能够以何种速度收敛？
- 方法与思路
- 作者为带宽设置缩放先验序列，结合可数覆盖、先验概率可加和条件、Hellinger 熵及混合逼近误差建立速率定理。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称提出新的通用后验速率定理，并在该混合模型中得到与经典频率学派速率相比仅相差对数因子的收敛表现。
- 阅读关注点
- 应核对带宽先验缩放与尾部要求，并确认后验收敛所用距离及其与摘要提到的积分均方误差速率之间的关系。
- 阅读边界
- 仅据版本未注明的索引摘要，无法确定完整先验条件和对数因子；不同误差度量的速率不能仅凭摘要直接等同。
原文摘要
We study the rates of convergence of the posterior distribution for Bayesian density estimation with Dirichlet mixtures of normal distributions as the prior. The true density is assumed to be twice continuously differentiable. The bandwidth is given a sequence of priors which is obtained by scaling a single prior by an appropriate order. In order to handle this problem, we derive a new general rate theorem by considering a countable covering of the parameter space whose prior probabilities satisfy a summability condition together with certain individual bounds on the Hellinger metric entropy. We apply this new general theorem on posterior convergence rates by computing bounds for Hellinger (bracketing) entropy numbers for the involved class of densities, the error in the approximation of a smooth density by normal mixtures and the concentration rate of the prior. The best obtainable rate of convergence of the posterior turns out to be equivalent to the well-known frequentist rate for integrated mean squared error n−2/5 up to a logarithmic factor.