Quadratic and inverse regressions for Wishart distributions
Wishart分布的二次回归与逆回归刻画AI 解读 ↓
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Wishart分布的二次回归与逆回归刻画
- 研究问题
- 如何将伽马分布的条件一阶、二阶及逆矩回归刻画推广到随机矩阵，从而获得Wishart分布的相应刻画？
- 方法与思路
- 作者以对称矩阵的两个二次函数替代标量平方，研究条件回归性质，并在对称锥与简单欧几里得Jordan代数中解释。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称得到新的Wishart分布刻画和既有刻画的更短证明，并将基于逆矩条件回归的伽马分布刻画推广到Wishart情形。
- 阅读关注点
- 应核对矩阵二次函数的具体定义、独立性和矩存在条件，以及条件回归性质如何导出分布刻画及其适用范围。
- 阅读边界
- 仅据版本未注明的索引摘要，不能判断完整刻画条件、证明细节或矩阵参数限制，也不能据随机矩阵主题推断金融应用。
原文摘要
If $U$ and $V$ are independent random variables which are gamma distributed with the same scale parameter, then there exist $a$ and $b$ in $\\mathbb{R}$ such that $$\\mathbb{E}(U|U + V) = a(U + V)$$ and $$\\mathbb{E}(U^2|U + V) = b(U + V)^2$$. This, in fact, is characteristic of gamma distributions. Our paper extends this property to the Wishart distributions in a suitable way, by replacing the real number $U^2$ by a pair of quadratic functions of the symmetric matrix $U$. This leads to a new characterization of the Wishart distributions, and to a shorter proof of the 1962 characterization given by Olkin and Rubin. Similarly, if $\\mathbb{E}(U^{-1})$ exists, there exists $c$ in $\\mathbb{R}$ such that $$\\mathbb{E}(U^{-1}|U + V) = c(U + V)^{-1}$$. Wesołowski has proved that this also is characteristic of gamma distributions. We extend it to the Wishart distributions. Finally, things are explained in the modern framework of symmetric cones and simple Euclidean Jordan algebras.