Generalizations of Tchebycheff’s Inequalities
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切比雪夫不等式的推广
- 研究问题
- 当抽样分布难以处理而低阶矩可得时，能否通过增加分布平滑性约束，获得更有实用价值的分布函数界？
- 方法与思路
- 作者限制某阶导数的变号次数，并进一步限制其大小，借助相应的极端分布构造切比雪夫不等式的推广。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称，部分简单情形已证明并给出明确结果；一般情形的正确性仍属猜想，不能把全部推广视为已证定理。
- 阅读关注点
- 应核对所用导数阶数、两类平滑性限制和极端分布的构造，尤其区分已证明的简单结果与尚未证明的一般猜想。
- 阅读边界
- 仅依据 Crossref 摘要；具体不等式和成立条件未提供，且摘要明确保留一般情形为猜想，不能声称已有完整证明。
原文摘要
Summary We may often obtain the lower moments of a sampling distribution when the distribution itself is intractable. Tchebycheff’s celebrated inequalities for the cumulative distribution function are of very little use in practice, being “much too wide”. The present work obtains generalizations of these inequalities by restricting the distribution function to be “smooth” in two senses: firstly, by restricting the number of changes of sign of some derivative, and secondly by also restricting the size of this derivative. These conditions lead to certain “extremal” distributions, and hence to the required inequalities. These have been proved correct only in the simpler cases, but are conjectured to hold in general. In Part I some of the simpler results are given explicitly.