Bayes and empirical Bayes: do they merge?
贝叶斯与经验贝叶斯：后验分布会趋同吗？AI 解读 ↓
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贝叶斯与经验贝叶斯：后验分布会趋同吗？
- 研究问题
- 以估计的超参数替代完整先验设定后，经验贝叶斯后验是否会随样本增大而接近贝叶斯后验，趋同应如何严格定义？
- 方法与思路
- 作者分别研究贝叶斯意义下的弱趋同和频率学意义下的全变差趋同，并分析正则条件下经验贝叶斯的超参数选择。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称给出两类后验趋同结果，并在正则条件下获得超参数选择的渐近 oracle 性质，例子包括狄利克雷过程混合密度估计。
- 阅读关注点
- 应核对两种趋同的概率意义、先验及超参数空间的限制、经验超参数的估计方式，以及 oracle 选择所依据的目标。
- 阅读边界
- 仅据版本未注明的 OpenAlex 索引摘要；正则条件与 oracle 标准未说明，不能据此认为所有经验贝叶斯方法都与完整贝叶斯等价。
原文摘要
Bayesian inference is attractive due to its internal coherence and for often having good frequentist properties. However, eliciting an honest prior may be difficult, and common practice is to take an empirical Bayes approach using an estimate of the prior hyperparameters. Although not rigorous, the underlying idea is that, for a sufficiently large sample size, empirical Bayes methods should lead to similar inferential answers as a proper Bayesian inference. However, precise mathematical results on this asymptotic agreement seem to be missing. In this paper, we give results in terms of merging Bayesian and empirical Bayes posterior distributions. We study two notions of merging: Bayesian weak merging and frequentist merging in total variation. We also show that, under regularity conditions, the empirical Bayes approach asymptotically gives an oracle selection of the prior hyperparameters. Examples include empirical Bayes density estimation with Dirichlet process mixtures.