Reduced $U$-Statistics and the Hodges-Lehmann Estimator
缩减 U 统计量与 Hodges–Lehmann 估计量AI 解读 ↓
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分类依据与纠错
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缩减 U 统计量与 Hodges–Lehmann 估计量
- 研究问题
- 能否仅对受限的样本配对求和，显著减少二阶 U 统计量的计算，同时维持与完整统计量相近的渐近效率？
- 方法与思路
- 作者以独立同分布样本的对称核和受限且平衡的配对集合定义缩减 U 统计量，并据此构造快捷位置估计量。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称获得单变量及多变量极限定理，说明部分缩减估计量可兼顾较少计算与相近效率，并研究不平衡配对情形。
- 阅读关注点
- 应核对配对集合的平衡性和增长条件、渐近方差与效率的比较标准，以及快捷 Hodges–Lehmann 估计的构造。
- 阅读边界
- 仅据版本未注明的索引摘要；摘要未列出核函数和配对条件，计算节省与效率接近不能推广到任意缩减方案。
原文摘要
A reduced $U$-statistic (of order 2) is defined as the sum of terms $f(X_i, X_j),$ where $f$ is a symmetric function, $(X_1, \cdots, X_N)$ are independent and identically distributed (i.i.d.) random variables (rv's), and $(i,j)$ are drawn from a restricted, though balanced, set of pairs. (A $U$-statistic corresponds to summation over all $(i, j)$ pairs.) A limit normal distribution is found for the reduced $U$-statistic, and it follows that estimates based on reduced $U$-statistics can have asymptotic efficiencies comparable with those based on $U$-statistics, even though the number of steps in computing a reduced $U$-statistic becomes asymptotically negligible in comparison with the number required for the corresponding $U$-statistic. As an illustration, a short-cut version of the Hodges-Lehmann estimator is defined, and its asymptotic properties derived, from a corresponding reduced $U$-statistic. A multivariate limit theorem is proved for a vector of reduced $U$-statistics, plus another result obtaining asymptotic normality even when $(i, j)$ are drawn from an unbalanced set of pairs. The present results are related to those of Blom.