High-dimensional linear regression inference via $\ell^2$ weak convergence
高维线性回归推断：基于 ℓ² 弱收敛AI 解读 ↓
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分类依据与纠错
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高维线性回归推断：基于 ℓ² 弱收敛
- 研究问题
- 摘要称研究高维线性回归系数的推断问题，特别是当稀疏度发散、存在许多小幅非零系数时，如何对有限个与无限个线性假设进行检验并构造同时置信带。
- 方法与思路
- 作者提出在可分希尔伯特空间中证明回归系数估计量的弱收敛，从而得到渐近正态性，并可直接使用连续映射定理等标准渐近工具；应用上构造有限个线性假设的检验，并借助 Scheffé 型方法处理无限个线性假设。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称该框架允许稀疏度发散且含许多小幅非零系数，仅要求有限个系数具有中等量级；由此给出全局检验与回归函数的联合置信带，极限分布为独立卡方变量加权和，插件临界值达到渐近正确水平。
- 阅读关注点
- 阅读全文时应核对弱收敛所需的正则条件与稀疏度假设、'中等量级'系数的具体界定、加权卡方极限分布的推导与权重估计方式，以及插件临界值的渐近水平是否在文中得到证明。
- 阅读边界
- 仅凭摘要无法判断假设是否可验证、有限样本表现、权重估计的可行性及证明细节；该文为 arXiv 预印本，未经同行评审验证，不能据此声称已被期刊接收。
原文摘要
We prove weak convergence in a separable Hilbert space for estimators of high-dimensional regression coefficients, which yields asymptotic normality and enables direct use of standard asymptotic tools such as the continuous mapping theorem. The approach permits diverging sparsity with many small nonzero coefficients, while requiring that only finitely many have moderate magnitude. As applications, we develop a test for finitely many linear hypotheses and, via a Scheffé-type approach, simultaneous inference for infinitely many linear hypotheses, yielding both a global test and simultaneous confidence bands for the regression function. The limiting distributions are given by weighted sums of independent chi-squared variables, and plug-in critical values achieve asymptotically correct size.