Canonical thresholding for non-sparse high-dimensional linear regression
非稀疏高维线性回归的典范阈值估计AI 解读 ↓
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分类依据与纠错
AI 根据所提供的论文材料归类：摘要研究通用高维线性回归，预测误差及主成分回归的出现不足以确定宏观或金融应用方向。
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非稀疏高维线性回归的典范阈值估计
- 研究问题
- 无需假设回归系数稀疏时，协变量协方差的特征值衰减能否支持高维回归估计，以及如何衡量问题复杂度？
- 方法与思路
- 作者在典范表示中保留较大的回归系数，提出显式阈值估计族，并分别分析固定设计、随机设计和相对误差。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称所得误差界给出特征值衰减下的收敛条件，并提出结合协方差与系数的联合有效维度及部分极小极大下界。
- 阅读关注点
- 应核对典范坐标与阈值选择、特征值衰减的充分条件、相对误差的分母，以及最优性结论覆盖的参数类。
- 阅读边界
- 这是 arXiv 预印本，同行评审及期刊接收未核验；摘要未给出误差界、噪声假设或最优性成立的具体范围。
原文摘要
We consider a high-dimensional linear regression problem. Unlike many papers on the topic, we do not require sparsity of the regression coefficients; instead, our main structural assumption is a decay of eigenvalues of the covariance matrix of the data. We propose a new family of estimators, called the canonical thresholding estimators, which pick largest regression coefficients in the canonical form. The estimators admit an explicit form and can be linked to LASSO and Principal Component Regression (PCR). A theoretical analysis for both fixed design and random design settings is provided. Obtained bounds on the mean squared error and the prediction error of a specific estimator from the family allow to clearly state sufficient conditions on the decay of eigenvalues to ensure convergence. In addition, we promote the use of the relative errors, strongly linked with the out-of-sample $R^2$. The study of these relative errors leads to a new concept of joint effective dimension, which incorporates the covariance of the data and the regression coefficients simultaneously, and describes the complexity of a linear regression problem. Some minimax lower bounds are established to showcase the optimality of our procedure. Numerical simulations confirm good performance of the proposed estimators compared to the previously developed methods.