Order-Explicit Linearization of High-Dimensional $U$-Statistics
高维 U 统计量中显式依赖阶数的线性化AI 解读 ↓
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分类依据与纠错
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高维 U 统计量中显式依赖阶数的线性化
- 研究问题
- 高维 U 统计量偏离 Hájek 投影的误差如何随核阶数、维数和样本量变化，能否据此支持集中界、高斯近似与同时区间？
- 方法与思路
- 作者发展高阶 Hoeffding 分量的显式阶数矩不等式，推导最大偏差的大偏差界，并应用于子抽样核构造的非参数回归。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称，在线性化误差界中显式刻画核阶数，给出除对数因子外不可改进的速率，并建立相关重抽样同时置信区间的一致性。
- 阅读关注点
- 应核对观测和核函数条件、阶数与维数增长范围、不可改进结论的含义，以及随机森林应用所需的额外条件。
- 阅读边界
- 这是 arXiv 预印本，不能据此认定已同行评审或期刊接收；摘要未完整列出定理条件，结论不能直接覆盖所有随机森林实现。
原文摘要
We give an order-explicit large deviation bound for the difference between a high-dimensional $U$-statistic and its Hájek projection. In particular, we show that any $U$-statistic of order $b$ on $n$ observations, with a $d$-dimensional kernel whose coordinates have $ψ_1$-Orlicz norm at most $φ$, has a maximum deviation from its Hájek projection of order $O_p(φb n^{-1}\log^2(dn))$. The proof relies on the development of novel order-explicit moment inequalities for higher-order Hoeffding components. We show that this rate is unimprovable, up to the polynomial factor on the logarithmic term. As corollaries, we obtain new Bernstein-type concentration and Gaussian approximation results for high-dimensional $U$-statistics. We apply these results to establish the consistency of a set of resampling-based simultaneous confidence intervals built around a class of nonparametric regression estimators constructed with subsampled kernels. This class encompasses several forms of random forest regression, including Generalized Random Forests.