Spatial quantiles on the hypersphere
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单位超球面上的空间分位数
- 研究问题
- 如何为单位超球面上的概率分布定义可计算的方向性分位数，并建立相应的秩、深度和样本推断理论？
- 方法与思路
- 作者以 Fréchet 中位数为中心，通过适当球极投影联系欧氏空间分位数，并分析中心估计对样本渐近行为的影响。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称，论文研究球面分位数的结构与样本渐近性质，构造配套的秩和深度，并展示分类与旋转对称性检验应用。
- 阅读关注点
- 应核对投影及无穷远点处理、分位数定义的适用条件，以及估计中心如何影响渐近分布和两个应用的推断。
- 阅读边界
- 仅据版本未注明的 OpenAlex 索引摘要。具体存在性、唯一性与渐近条件未说明，也未提供应用数值结果。
原文摘要
We propose a concept of quantiles for probability measures on the unit hypersphere Sd−1 of Rd. The innermost quantile is the Fréchet median, that is, the L1-analog of the Fréchet mean. The proposed quantiles μα,um are directional in nature: they are indexed by a scalar order α∈[0,1] and a unit vector u in the tangent space TmSd−1 to Sd−1 at m. To ensure computability in any dimension d, our quantiles are essentially obtained by considering the Euclidean (Chaudhuri (J. Amer. Statist. Assoc. 91 (1996) 862–872)) spatial quantiles in a suitable stereographic projection of Sd−1 onto TmSd−1. Despite this link with Euclidean spatial quantiles, studying the proposed spherical quantiles requires understanding the nature of the (Chaudhuri (1996)) quantiles in a version of the projective space where all points at infinity are identified. We thoroughly investigate the structural properties of our quantiles and we further study the asymptotic behavior of their sample versions, which requires controlling the impact of estimating m. Our spherical quantile concept also allows for companion concepts of ranks and depth on the hypersphere. We illustrate the relevance of our construction by considering two inferential applications, related to supervised classification and to testing for rotational symmetry.