Proof of The TAP Free Energy for High-Dimensional Linear Regression with Spherical Priors at All Temperatures
全温度下球面先验高维线性回归的 TAP 自由能证明AI 解读 ↓
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全温度下球面先验高维线性回归的 TAP 自由能证明
- 研究问题
- 摘要称，本文研究高维贝叶斯线性回归中 TAP 自由能公式是否成立，即在均匀球面先验下、任意噪声水平时，TAP 是否比平均场变分推断更准确地刻画后验。
- 方法与思路
- 作者提出构造一个岭回归泛函来支配 TAP 自由能，从而对非凹 TAP 泛函的全局最优解给出严格分析，将 Qiu 和 Sen（2023）的高噪声结果推广到所有噪声水平。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称，本文首次对植入式推断模型在任意噪声水平下严格分析非凹 TAP 泛函的全局最优解，并验证 TAP 而非平均场是该设定下正确的变分描述。
- 阅读关注点
- 阅读全文时应核对：岭回归泛函如何构造并证明其支配 TAP 自由能；全局最优解的存在性与唯一性条件；结论对先验与噪声设定的依赖；与 Qiu 和 Sen（2023）结果的具体衔接方式。
- 阅读边界
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原文摘要
Approximate inference is central to Bayesian learning, with variational inference (VI) providing a scalable framework for posterior approximation. While mean-field VI often fails in high dimensions, the more refined Bethe approximation, equivalent to the Thouless-Anderson-Palmer (TAP) free energy in statistical physics, has long been conjectured to capture Bayes-optimal behavior. We prove that the TAP formula holds for Bayesian linear regression with a uniform spherical prior at all noise levels ($Δ>0$), extending the result of Qiu and Sen (2023) in the high-noise regime. Our argument constructs a ridge regression functional that dominates the TAP free energy, yielding the first rigorous analysis of the global optimizer of the non-concave TAP functional for a planted inference model at an arbitrary noise level. This verifies that TAP, rather than mean-field, is the correct variational description in this setting.