Limit theorems for distributions invariant under groups of transformations
变换群不变分布的极限定理AI 解读 ↓
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分类依据与纠错
AI 根据所提供的论文材料归类：摘要明确列出网络模型及可交换随机结构的应用，其他内容主要属于通用群不变概率理论。
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变换群不变分布的极限定理
- 研究问题
- 当分布在某个变换群下保持不变时，如何利用这种对称性建立均值估计及其大数、正态近似和集中性质？
- 方法与思路
- 作者对变换子集上的平均使用遍历理论，并在混合条件下调整Stein方法，将分析扩展到多种抽样与统计量结构。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称得到强一致性、中心极限定理、Berry–Esseen界及集中结果，并扩展至三角阵、子抽样和广义U统计量。
- 阅读关注点
- 应核对变换群与混合条件、平均子集的选择，以及网络模型、平稳随机场和经验熵应用各自需要的额外限制。
- 阅读边界
- 仅据版本未注明的索引摘要；群条件、混合速率和误差界未展开，不能仅凭交换性或平稳性认定全部结论成立。
原文摘要
A distributional symmetry is invariance of a distribution under a group of transformations. Exchangeability and stationarity are examples. We explain that a result of ergodic theory implies a law of large numbers for such invariant distributions: If the group satisfies suitable conditions, expectations can be estimated by averaging over subsets of transformations, and these estimators are strongly consistent. We show that, if a mixing condition holds, the averages also satisfy a central limit theorem, a Berry–Esseen bound, and concentration. These are extended further to apply to triangular arrays, to randomly subsampled averages, and to a generalization of U-statistics. As applications, we obtain a general limit theorem for exchangeable random structures, and new results on stationary random fields, network models, and a class of marked point processes. We also establish asymptotic normality of the empirical entropy for a large class of processes. Some known results are recovered as special cases, and can hence be interpreted as an outcome of symmetry. The proofs adapt Stein’s method.