Nonparametric Estimates of Regression Quantiles and Their Local Bahadur Representation
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回归分位数的非参数估计及局部 Bahadur 表示
- 研究问题
- 在协变量与误差独立、误差指定分位数为零的加性回归中，如何非参数估计平滑分位数函数及其导数，并获得局部渐近表示？
- 方法与思路
- 作者基于独立同分布观测构造分位数函数导数的点态估计，证明其收敛率，并建立局部 Bahadur 型表示以推导渐近结果。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称，在适当正则条件下，该点态估计达到由平滑度、导数阶数与协变量维度决定的最优非参数速率，并具有局部展开。
- 阅读关注点
- 应核对估计量构造、平滑性与误差分布条件，以及局部 Bahadur 表示的余项控制和它具体支持哪些渐近推断结果。
- 阅读边界
- 仅据版本未注明的 OpenAlex 索引摘要；样本下标存在疑似录入错误，正则条件未列明，不能扩展到异方差或协变量与误差相关情形。
原文摘要
Let $(X, Y)$ be a random vector such that $X$ is $d$-dimensional, $Y$ is real valued and $Y = \theta(X) + \varepsilon$, where $X$ and $\varepsilon$ are independent and the $\alpha$th quantile of $\varepsilon$ is $0$ ($\alpha$ is fixed such that $0 < \alpha < 1$). Assume that $\theta$ is a smooth function with order of smoothness $p > 0$, and set $r = (p - m)/(2p + d)$, where $m$ is a nonnegative integer smaller than $p$. Let $T(\theta)$ denote a derivative of $\theta$ of order $m$. It is proved that there exists a pointwise estimate $\hat{T}_n$ of $T(\theta)$, based on a set of i.i.d. observations $(X_1, Y_1),\cdots,(S_n, Y_n)$, that achieves the optimal nonparametric rate of convergence $n^{-r}$ under appropriate regularity conditions. Further, a local Bahadur type representation is shown to hold for the estimate $\hat{T}_n$ and this is used to obtain some useful asymptotic results.