The Yule-Frisch-Waugh-Lovell Theorem for Linear Instrumental Variables Estimation
线性工具变量估计中的 Yule–Frisch–Waugh–Lovell 定理AI 解读 ↓
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线性工具变量估计中的 Yule–Frisch–Waugh–Lovell 定理
- 研究问题
- 在线性工具变量回归中，剔除外生变量后能否保留完整回归的系数、残差与协方差结果，以及这一等价性如何延伸到其他估计量？
- 方法与思路
- 作者分析恰好识别与过度识别模型，将变量和工具变量对外生变量残差化，再讨论 K 类估计量及线性 GMM 的适用范围。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称线性 IV 的内生变量系数与残差保持一致，协方差等价需附加条件；并给出 K 类的大样本扩展及两步最优线性 GMM 的适用结果。
- 阅读关注点
- 应核对残差化的具体构造、协方差等价条件及自由度修正，并区分线性 IV 的精确等价与 K 类估计量的大样本结论。
- 阅读边界
- 这是 arXiv 预印本，同行评审及期刊接收未核实；摘要未提供完整证明，不能将等价结论推广到任意协方差估计或线性 GMM。
原文摘要
In this paper, I discuss three aspects of the Frisch-Waugh-Lovell theorem. First, I show that the theorem holds for linear instrumental variables estimation of a multiple regression model that is either exactly or overidentified. I show that with linear instrumental variables estimation: (a) coefficients on endogenous variables are identical in full and partial (or residualized) regressions; (b) residual vectors are identical for full and partial regressions; and (c) estimated covariance matrices of the coefficient vectors from full and partial regressions are equal (up to a degree of freedom correction) if the estimator of the error vector is a function only of the residual vectors and does not use any information about the covariate matrix other than its dimensions. While estimation of the full model uses the full set of instrumental variables, estimation of the partial model uses the residualized version of the same set of instrumental variables, with residualization carried out with respect to the set of exogenous variables. Second, I show that: (a) the theorem applies in large samples to the K-class of estimators, including the limited information maximum likelihood (LIML) estimator, and (b) the theorem does not apply in general to linear GMM estimators, but it does apply to the two step optimal linear GMM estimator. Third, I trace the historical and analytical development of the theorem and suggest that it be renamed as the Yule-Frisch-Waugh-Lovell (YFWL) theorem to recognize the pioneering contribution of the statistician G. Udny Yule in its development.