Confidence intervals for high-dimensional linear regression: Minimax rates and adaptivity
高维线性回归置信区间的极小极大速率与自适应性AI 解读 ↓
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高维线性回归置信区间的极小极大速率与自适应性
- 研究问题
- 在随机设计的高维线性回归中，置信区间能否保持预设覆盖率，同时让长度自动适应未知回归向量的稀疏程度？
- 方法与思路
- 作者先研究已知稀疏参数时置信区间最坏情形期望长度的最优速率，再分析未知稀疏程度下的自适应限制。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称，除一个具有通常参数速率的小范围外，一般无法实现所述自适应；根源在于难以准确估计偏差。
- 阅读关注点
- 核对区间针对的参数、覆盖率要求、设计与参数空间限制，以及允许自适应的稀疏范围和偏差困难的论证。
- 阅读边界
- 仅据版本未注明的OpenAlex索引摘要；目标参数、具体速率及稀疏范围未提供，不能将不可能性结论推广至所有区间构造。
原文摘要
Confidence sets play a fundamental role in statistical inference. In this paper, we consider confidence intervals for high-dimensional linear regression with random design. We first establish the convergence rates of the minimax expected length for confidence intervals in the oracle setting where the sparsity parameter is given. The focus is then on the problem of adaptation to sparsity for the construction of confidence intervals. Ideally, an adaptive confidence interval should have its length automatically adjusted to the sparsity of the unknown regression vector, while maintaining a pre-specified coverage probability. It is shown that such a goal is in general not attainable, except when the sparsity parameter is restricted to a small region over which the confidence intervals have the optimal length of the usual parametric rate. It is further demonstrated that the lack of adaptivity is not due to the conservativeness of the minimax framework, but is fundamentally caused by the difficulty of learning the bias accurately.