Asymptotics for Least Squares Cross-Validation Bandwidths in Nonsmooth Cases
非光滑情形下最小二乘交叉验证带宽的渐近理论AI 解读 ↓
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非光滑情形下最小二乘交叉验证带宽的渐近理论
- 研究问题
- 核密度估计中，最小二乘交叉验证带宽偏离两类最优带宽的渐近分布是什么，密度跳跃或折点如何影响收敛速度？
- 方法与思路
- 作者分别以积分平方误差及其期望的最小化带宽为基准，在光滑、有限跳跃和有限折点三类密度下研究带宽差异。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称，带宽差异具有渐近正态性；光滑情形的相对误差按 n 的负十分之一次幂收敛，非光滑情形相对收敛更快。
- 阅读关注点
- 应核对三类密度的精确条件、带宽差异的标准化方式及非光滑情形的具体速率，区分两种最优带宽对应的目标。
- 阅读边界
- 索引摘要未注明稿件版本，也未给出非光滑情形的具体速率和方差；带宽相对误差更快不能直接解释为密度估计更优。
原文摘要
We consider the problem of bandwidth selection for kernel density estimators. Let $H_n$ denote the bandwidth computed by the least squares cross-validation method. Furthermore, let $H^\ast_n$ and $h^\ast_n$ denote the minimizers of the integrated squared error and the mean integrated squared error, respectively. The main theorem establishes asymptotic normality of $H_n - H^\ast_n$ and $H_n - h^\ast_n$, for three classes of densities with comparable smoothness properties. Apart from densities satisfying the standard smoothness conditions, we also consider densities with a finite number of jumps or kinks. We confirm the $n^{-1/10}$ rate of convergence to 0 of the relative distances $(H_n - H^\ast_n)/H^\ast_n$ and $(H_n - h^\ast_n)/h^\ast_n$ derived by Hall and Marron in the smooth case. Unexpectedly, in turns out that these relative rates of convergence are faster in the nonsmooth cases.