Local asymptotics for polynomial spline regression
多项式样条回归的局部渐近理论AI 解读 ↓
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多项式样条回归的局部渐近理论
- 研究问题
- 对不同多项式样条空间上的最小二乘回归估计，如何建立局部渐近正态性，并控制样条逼近造成的偏差及其一致性？
- 方法与思路
- 作者建立覆盖一元、张量积和三角剖分样条的理论，通过投影在最大范数下的稳定性，将偏差控制联系到最优逼近误差。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称渐近正态性对估计点及广泛的设计密度、误差分布和回归函数一致成立，并涵盖多项式空间及初步的加性模型分析。
- 阅读关注点
- 应核对样条空间与复杂度增长条件、设计及误差限制、偏差相对标准误的阶数，以及一致正态性具体采用的表述。
- 阅读边界
- 仅据版本未注明的索引摘要；具体正则条件、收敛速度和证明未提供，不能直接据此认定同时置信带有效或推断刊本变化。
原文摘要
In this paper we develop a general theory of local asymptotics for least squares estimates over polynomial spline spaces in a regression problem. The polynomial spline spaces we consider include univariate splines, tensor product splines, and bivariate or multivariate splines on triangulations. We establish asymptotic normality of the estimate and study the magnitude of the bias due to spline approximation. The asymptotic normality holds uniformly over the points where the regression function is to be estimated and uniformly over a broad class of design densities, error distributions and regression functions. The bias is controlled by the minimum $L_\infty$ norm of the error when the target regression function is approximated by a function in the polynomial spline space that is used to define the estimate. The control of bias relies on the stability in $L_\infty$ norm of $L_2$ projections onto polynomial spline spaces. Asymptotic normality of least squares estimates over polynomial or trigonometric polynomial spaces is also treated by the general theory. In addition, a preliminary analysis of additive models is provided.