On optimal adaptive estimation of a quadratic functional
二次泛函的最优自适应估计AI 解读 ↓
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二次泛函的最优自适应估计
- 研究问题
- 当未知函数的平滑程度不已知时，二次泛函估计能否同时适应正则和非正则参数空间，并达到各自的极小极大收敛速度？
- 方法与思路
- 作者建立自适应估计的均方误差下界，分析非正则情形中的对数损失，再构造达到相应界限的简单自适应估计量。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称相关空间间无法同时达到极小极大速度，并给出正则情形尖锐、非正则情形达到下界的估计量及发生损失的函数子集。
- 阅读关注点
- 应核对平滑类与正则分界、两个参数空间的关系、下界适用条件，以及尖锐性和损失子集相对较小的精确定义。
- 阅读边界
- 仅据版本未注明的索引摘要；具体模型、参数空间和证明未提供，不能把对数损失结论推广到所有二次泛函问题或推断刊本变化。
原文摘要
Minimax mean-squared error estimates of quadratic functionals of smooth functions have been constructed for a variety of smoothness classes. In contrast to many nonparametric function estimation problems there are both regular and irregular cases. In the regular cases the minimax mean-squared error converges at a rate proportional to the inverse of the sample size, whereas in the irregular case much slower rates are the rule. We investigate the problem of adaptive estimation of a quadratic functional of a smooth function when the degree of smoothness of the underlying function is not known. It is shown that estimators cannot achieve the minimax rates of convergence simultaneously over two parameter spaces when at least one of these spaces corresponds to the irregular case. A lower bound for the mean squared error is given which shows that any adaptive estimator which is rate optimal for the regular case must lose a logarithmic factor in the irregular case. On the other hand, we give a rather simple adaptive estimator which is sharp for the regular case and attains this lower bound in the irregular case. Moreover, we explicitly describe a subset of functions where our adaptive estimator loses the logarithmic factor and show that this subset is relatively small.