Limiting Distributions of Kolmogorov-Smirnov Type Statistics Under the Alternative
备择假设下Kolmogorov–Smirnov型统计量的极限分布AI 解读 ↓
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分类依据与纠错
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备择假设下Kolmogorov–Smirnov型统计量的极限分布
- 研究问题
- 当真实分布偏离均匀分布时，单样本及双样本Kolmogorov–Smirnov型统计量在适当中心化后具有怎样的极限分布？
- 方法与思路
- 作者在独立同分布、连续分布及单位区间支持设定下，研究经验分布的最大偏差，并推导单侧、双样本和Kuiper统计量的极限。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称，得到单样本最大绝对偏差经中心化和平方根样本量缩放后的极限分布，并扩展至其他相关统计量。
- 阅读关注点
- 核对最大总体偏差的取值位置如何影响极限分布、两样本量的相对增长条件，以及不同统计量各自需要的假设。
- 阅读边界
- 仅据版本未注明的OpenAlex摘要；极限分布的具体形式及完整条件未提供，不能据此给出临界值、功效或通用近似精度。
原文摘要
Let $X_1, X_2, \cdots$ be a sequence of independent and identically distributed random variables with the common distribution being uniform on [0, 1]. Let $Y_1, Y_2, \cdots$ be a sequence of i.i.d. variables with continuous $\operatorname{cdf}F(t)$ and with [0, 1] support. Let $F_n(t, \omega)$ denote the empirical distribution function based on $Y_1(\omega), \cdots, Y_n(\omega)$ and let $G_m(t, \omega)$ the empirical $\operatorname{cdf}$ pertaining to $X_1(\omega), \cdots, X_m(\omega)$. Let $\sup_{0\leqq t \leqq 1}|F(t) - t| = \lambda$ and $D_n = \sup_{0 \leqq t \leqq 1}|F_n(t, \omega) - t|$. The limiting distribution of $n^{\frac{1}{2}}(D_n - \lambda)$ is obtained in this paper. The limiting distributions under the alternative of the corresponding one-sided statistic in the one-sample case and the corresponding Smirnov statistics in the two-sample case are also derived. The asymptotic distributions under the alternative of Kuiper's statistic are also obtained.