Bounds for probabilities of small relative errors for empirical saddlepoint and bootstrap tail approximations
经验鞍点与自助法尾部近似的小相对误差概率界AI 解读 ↓
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经验鞍点与自助法尾部近似的小相对误差概率界
- 研究问题
- 用经验分布近似计算学生化均值函数的尾部检验概率时，如何确保小概率的相对误差以足够高的概率保持较小？
- 方法与思路
- 作者分析一元标准化均值及均值光滑函数检验的经验鞍点与自助法尾部近似，研究中等偏差范围内相对误差的概率界。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称相对误差渐近趋小的事件具有很高概率，其补集概率指数级小，并给出特定偏差阶下尾概率与误差事件的阶数关系。
- 阅读关注点
- 应核对分布尾部和光滑性条件、学生化与标准化情形的差别，以及偏差范围、相对误差和异常事件概率之间的对应关系。
- 阅读边界
- 仅据版本未注明的 OpenAlex 摘要；正则条件和有限样本常数未给出，不能据此保证任意极端尾部概率的近似精度。
原文摘要
To obtain test probabilities based on empirical approximations to the distribution of a Studentized function of a mean, we need the approximations to be accurate with sufficiently high probability. In particular, when these test probabilities are small it is best to consider relative errors. Here we show that in the case of univariate standardized means and in the general case of tests based on smooth functions of means, the empirical approximations have asymptotically small relative errors on sets with probability differing from 1 by an exponentially small quantity and that these error rates hold for moderately large deviations. In particular, for standardized deviations of order $n^{1/6}$, the probabilities approximated are exponentially small with exponents of order $n^{1/3}$ and the corresponding relative errors tend to zero on sets whose complements have probabilities of the order of the probabilities being approximated.