From nonstationarity to stationarity via $1/f$ noise: discrete Fourier transforms and sample mean asymptotics for testing
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经由 1/f 噪声连接非平稳与平稳：离散傅里叶变换及样本均值检验渐近理论
- 研究问题
- 长记忆序列跨越平稳边界时，低频傅里叶变换、样本均值与方差如何归一化，并据此检验非平稳性？
- 方法与思路
- 作者研究 −1/2<d<3/2 下固定数量傅里叶频率的联合极限，针对 d=1/2 引入对数修正并构造组合统计量。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称得到显式协方差的高斯极限及边界处的卡方型分布，并构造以长记忆平稳为备择的一致、无参数检验。
- 阅读关注点
- 应核对过程类别与正则条件、统一归一化和边界对数项、检验原假设的范围，以及无参数性与一致性的具体含义。
- 阅读边界
- 这是 arXiv 预印本，不能据此认定已同行评审或期刊接收；摘要未说明完整过程假设、统计量公式或有限样本检验表现。
原文摘要
We study the asymptotic behaviour of different statistics for time series exhibiting long memory and nonstationarity. For processes with memory parameter $d\in(-1/2,3/2)$, we derive the joint limiting distribution of discrete Fourier transforms at a fixed number of Fourier frequencies, with a unified normalization. The resulting limits are Gaussian with an explicit covariance structure. Particular attention is given to the boundary case $d=1/2$, also known as $1/f$ noise. We show that logarithmic corrections yield nondegenerate limits for sample mean and sample variance leading to explicit asymptotic distributions of $χ^2$ type. We construct a statistic that combines the sample mean, the sample variance, and low-frequency periodogram ordinates, designed so that, at the boundary case $(d=1/2)$, it admits a tractable limit distribution. These results are applied to construct a consistent parameter-free test of nonstationarity against long memory stationarity.