CLT and Edgeworth Expansion for m-out-of-n Bootstrap Estimators of The Studentized Median
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学生化中位数的 m-out-of-n 自助估计：中心极限定理与 Edgeworth 展开
- 研究问题
- 对样本分位数采用 m-out-of-n 重抽样时，能否获得无需未知干扰参数的渐近分布，并明确其成立条件与近似误差？
- 方法与思路
- 作者分析全数据驱动的分位数重抽样估计量，建立中心极限定理、失效反例及更强条件下的 Edgeworth 展开。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称给出无未知干扰参数的渐近保证、矩条件近乎紧的反例、精确收敛速率及 Berry–Esseen 误差界。
- 阅读关注点
- 应核对 m 与 n 的增长关系、无放回抽样及学生化定义、矩与分布条件，并区分独立样本和马尔可夫过程应用的要求。
- 阅读边界
- 这是 arXiv 预印本，同行评审及期刊接收均未核实；摘要未列出具体矩条件、展开阶数和误差界，不能自行补出定理细节。
原文摘要
The m-out-of-n bootstrap, originally proposed by Bickel, Gotze, and Zwet (1992), approximates the distribution of a statistic by repeatedly drawing m subsamples (with m much smaller than n) without replacement from an original sample of size n. It is now routinely used for robust inference with heavy-tailed data, bandwidth selection, and other large-sample applications. Despite its broad applicability across econometrics, biostatistics, and machine learning, rigorous parameter-free guarantees for the soundness of the m-out-of-n bootstrap when estimating sample quantiles have remained elusive. This paper establishes such guarantees by analyzing the estimator of sample quantiles obtained from m-out-of-n resampling of a dataset of size n. We first prove a central limit theorem for a fully data-driven version of the estimator that holds under a mild moment condition and involves no unknown nuisance parameters. We then show that the moment assumption is essentially tight by constructing a counter-example in which the CLT fails. Strengthening the assumptions slightly, we derive an Edgeworth expansion that provides exact convergence rates and, as a corollary, a Berry Esseen bound on the bootstrap approximation error. Finally, we illustrate the scope of our results by deriving parameter-free asymptotic distributions for practical statistics, including the quantiles for random walk Metropolis-Hastings and the rewards of ergodic Markov decision processes, thereby demonstrating the usefulness of our theory in modern estimation and learning tasks.