Asymptotic Relations of $M$-Estimates and $R$-Estimates in Linear Regression Model
线性回归中 M 估计与 R 估计的渐近关系AI 解读 ↓
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线性回归中 M 估计与 R 估计的渐近关系
- 研究问题
- 在线性回归参数维数固定、样本量增长时，M 估计与秩型 R 估计之差具有何种极限分布及等价关系？
- 方法与思路
- 作者在设计矩阵、误差分布及估计生成函数的若干假设下推导估计量之差的渐近分布，并讨论有效估计的特例。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称在相应条件下，每个 M 估计可对应一个渐近等价的 R 估计，反向亦然，并考察两者针对某分布有效的情形。
- 阅读关注点
- 核对设计矩阵与误差条件、两类生成函数的对应构造，以及渐近等价和针对特定分布有效的准确含义。
- 阅读边界
- 仅据版本未注明的 OpenAlex 索引摘要；完整条件与构造未提供，不能将固定维度下的等价关系推广到高维回归。
原文摘要
Let $\hat{\mathbf{\Delta}}_M$ be an $M$-estimator (maximum-likelihood type estimator) and $\hat{\mathbf{\Delta}}_R$ be an $R$-estimator (rank estimator) of the parameter $\mathbf{\Delta} = (\Delta_1,\cdots, \Delta_p)$ in the linear regression model $X_{Ni} = \sum^p_{j=1} \Delta_jc_{ji} + e_i, i = 1,\cdots, N$. The asymptotic distribution of $\hat\mathbf{\Delta}_M - \hat\mathbf{\Delta}_R$ is derived for $p$ fixed and $N \rightarrow \infty,$ under some assumptions on the design matrix, on the error distribution $F$ and on the functions generating the respective estimators. The result has several consequences which have an interest of their own; among others, it is shown that to any $M$-estimator corresponds an $R$-estimator such that the estimators asymptotically equivalent, and conversely. A special case when $\hat\mathbf{\Delta}_M$ is the maximum likelihood estimator and $\hat\mathbf{\Delta}_R$ the $R$-estimator, both asymptotically efficient for some distribution $G$, is also considered.