Unbiasedness of the Likelihood Ratio Tests for Equality of Several Covariance Matrices and Equality of Several Multivariate Normal Populations
多个协方差矩阵及多元正态总体相等的似然比检验无偏性AI 解读 ↓
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多个协方差矩阵及多元正态总体相等的似然比检验无偏性
- 研究问题
- 对多个均值与协方差均未知的多元正态总体，协方差相等检验及均值、协方差同时相等检验是否对所有备择均无偏？
- 方法与思路
- 作者研究协方差相等的 Bartlett 修正似然比检验，以及均值和协方差同时相等的未修正似然比检验，并分析其无偏性。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称证明这两种检验对所有备择均无偏；这里讨论的是检验的无偏性，不能将其解读为参数估计量的无偏性。
- 阅读关注点
- 应核对样本量及矩阵非奇异要求、两类统计量定义与无偏性的证明，并确认摘要中假设编号和协方差矩阵记法。
- 阅读边界
- 依据版本未注明的索引摘要；假设编号存在不一致，矩阵记法需查原文，不能据此重构统计量或外推到非正态总体。
原文摘要
Random samples of size $N_\alpha$ are taken from the $p$-variate normal populations $N_p(\mu^{(\alpha)}, \Sigma^{(\alpha)}), 1 \leqslant \alpha \leqslant k$, with $\mu^{(\alpha)}$ and $\Sigma^{(\alpha)}$ unknown. Bartlett's modification of the likelihood ratio test (LRT) for the hypothesis $H_1:\Sigma^{(1)} = \cdots = \Sigma^{(k)}$ rejects $H_1$ for large values of $|S|^n/\Pi|S^{(\alpha)}|^{n_\alpha}$, where $S = \Sigma S^{(\alpha)}, n_\alpha = N_\alpha - 1, n = \Sigma n_i$, and $S^{(\alpha)}$ is the sample covariance matrix from the $\alpha$th population. The (unmodified) LRT for the hypothesis $H_1: \mu^{(1)} = \cdots = \mu^{(k)}, \Sigma^{(1)} = \cdots = \Sigma^{(k)}$ rejects $H_2$ for large values of $|S + T|^N/\Pi|S^{(\alpha)}|^{N_\alpha}$, where $N = \Sigma N_\alpha, T = \Sigma N_\alpha(\bar{X}^{(\alpha)} - \bar{X}^{(+)})(\bar{X}^{(\alpha)} - \bar{X}^{(+)})', \bar{X}^{(\alpha)}$ is the $\alpha$th sample mean, and $\bar{X}^{(+)}$ is the grand mean. It is proved that each of these tests is unbiased against all alternatives.