Convergence Rates for Empirical Bayes Estimation in the Uniform $U(0, \theta)$ Distribution
均匀分布 U(0, θ) 下经验贝叶斯估计的收敛速度AI 解读 ↓
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分类依据与纠错
AI 根据所提供的论文材料归类：摘要研究一般经验贝叶斯风险与收敛速度，没有所列经济计量细分的直接应用依据。
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均匀分布 U(0, θ) 下经验贝叶斯估计的收敛速度
- 研究问题
- 当各观测来自具有随机未知上界的均匀分布时，使用历史样本估计新个体上界，其平方损失风险距最优贝叶斯风险多远？
- 方法与思路
- 作者在上界有界、潜在参数独立同分布的设定下构造经验贝叶斯估计量，研究其风险与给定先验下最优贝叶斯风险的差。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称，构造的估计量风险差达到 O(n^(-1/2))，并展示一列经验贝叶斯估计量的风险差具有同阶下界。
- 阅读关注点
- 阅读时应核对先验分布类的限制、收敛界是否对该类一致成立，以及下界针对的估计量范围和所涉及的量词。
- 阅读边界
- 仅据版本未注明的 OpenAlex 索引摘要，先验类及界的常数未说明；某列估计量的同阶下界不能直接解释为所有方法的极小极大下界。
原文摘要
Let $\{(X_i, \theta_i)\}$ be a sequence of independent random vectors where $X_i$ has a uniform density $U(0, \theta_i)$ for $0 < \theta_i < m (< \infty)$ and the unobservable $\theta_i$ are i.i.d. $G$ in some class $\mathscr{G}$ of prior distributions. In the $(n + 1)$st problem we estimate $\theta_{n + 1}$ by $t_n(X_1, \cdots, X_n, X_{n + 1}) \doteq t_n(\mathbf{X})$, incurring the risk $R_n \doteq \mathbf{E}(t_n(\mathbf{X}) - \theta_{n + 1})^2$, where $\mathbf{E}$ denotes expectation with respect to all random variables $\{(X_i, \theta_i)\}^{n + 1}_{i = 1}$. Let $R$ be the infimum Bayes risk with respect to $G$. In this paper the author exhibits empirical Bayes estimators with a convergence rate $O(n^{-1/2})$ of $R_n - R$ and shows that there is a sequence of empirical Bayes estimators for which $R_n - R$ has a lower bound of the same order $n^{-1/2}$.