The Evaluation of Certain Quadratic Forms Occurring in Autoregressive Model Fitting
自回归模型拟合中若干二次型的计算AI 解读 ↓
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分类依据与纠错
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自回归模型拟合中若干二次型的计算
- 研究问题
- 在自回归模型拟合中，用不同矩阵近似替代有限维协方差矩阵的逆，是否能保持相关二次型的渐近极限？
- 方法与思路
- 作者比较有限维协方差逆、无限维协方差逆的截块及两类近似，并考察由绝对可和序列构成的二次型。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称，无限维逆矩阵截块给出相同极限，Whittle近似则未必如此，并讨论逆协方差函数及移动平均参数的渐近协方差。
- 阅读关注点
- 应核对平稳协方差矩阵的可逆性条件、绝对可和条件的作用，以及矩阵近似结果如何用于自回归估计。
- 阅读边界
- 仅据OpenAlex索引摘要，稿件版本未注明；具体矩阵条件、证明及近似误差阶未说明，不能推断其他版本变化。
原文摘要
Let $\mathbf{R}$ be an infinite dimensional stationary covariance matrix, let $\mathbf{R}(k)$ and $\mathbf{W}(k)$ denote the top $k \times k$ left hand corners of $\mathbf{R}$ and $\mathbf{R}^{-1}$ respectively and let $\mathbf{\Sigma}(k)$ and $\mathbf{\Gamma}(k)$ denote the approximations for $\mathbf{R}(k)^{-1}$ suggested by Whittle (1951) and Shaman (1976) respectively. We consider quadratic forms of the type $Q(k) = \beta(k)' \mathbf{R}(k)^{-1}\alpha (k)$, when the vectors $\beta(k)$ and $\alpha(k)$ constitute the first $k$ elements of the infinite absolutely summable sequences $\{\beta_j\}$ and $\{\alpha_j\}$. If $\chi_1(k) = \beta (k)' \mathbf{W}(k) \mathbf{\alpha}(k)$ and $\chi_2(k) = \beta (k)' \mathbf{\Sigma(k)}\mathbf{\alpha}(k)$, then, as $k \rightarrow \infty, Q(k)$ and $\chi_1(k)$ converge to the same limiting value for all such $\alpha (k)$ and $\beta(k)$, but $\chi_2(k)$ does not necessarily do so. Further, if $\tilde\mathbf{\alpha}(k) = (\alpha_k, \cdots, \alpha_1)'$ and $\tilde\mathbf{\beta}(k) = (\beta_k, \cdots, \beta_1)'$ then $\chi_1(k) \equiv \tilde\mathbf{\beta}(k)'\mathbf{\Gamma}(k)\tilde\mathbf{\alpha}(k)$. We discuss the use of $\mathbf{W}(k)$ for evaluating the asymptotic covariance structure of the autoregressive estimates of the inverse covariance function and the moving average parameters.