Nonparametric Bandits with Single-Index Rewards: Optimality and Adaptivity
单指数奖励的非参数赌博机：最优性与自适应性AI 解读 ↓
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单指数奖励的非参数赌博机：最优性与自适应性
- 研究问题
- 研究高维上下文赌博机中，如何用单指数模型在保持非参数灵活性的同时克服维数灾难，并刻画其最优遗憾与对未知光滑度的自适应极限。
- 方法与思路
- 作者提出先为每条臂建立离线单指数回归的非渐近理论，将最大秩相关用于指数估计、局部多项式回归用于拟合；据此构造单指数赌博机算法，并推导匹配下界与自适应不可能性结果。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称算法达到与环境维数 d 无关的极小极大最优遗憾，从而克服维数灾难；给出无额外假设时无法自适应未知光滑度的不可能性结论，并在自相似条件下构造仍保持极小极大最优的自适应策略，还刻画随 d 增大出现的相变。
- 阅读关注点
- 应核对离线单指数回归非渐近界所需假设、最大秩相关与局部多项式回归的组合条件、下界构造是否与算法匹配、自相似条件的具体形式，以及相变结论的适用范围与常数依赖。
- 阅读边界
- 仅凭摘要无法判断证明细节、假设强度、常数与维数依赖、模拟或实证表现；摘要未说明是否含数值实验。该文为 arXiv 预印本，未经同行评审验证，不能据此声称已被期刊接收。
原文摘要
Contextual bandits are a central framework for sequential decision-making, with applications ranging from recommendation systems to clinical trials. While nonparametric methods can flexibly model complex reward structures, they suffer from the curse of dimensionality. We address this challenge using a single-index model, which projects high-dimensional covariates onto a one-dimensional subspace while preserving nonparametric flexibility. We first develop a nonasymptotic theory for offline single-index regression for each arm, combining maximum rank correlation for index estimation with local polynomial regression. Building on this foundation, we propose a single-index bandit algorithm and establish its convergence rate. We further derive a matching lower bound, showing that the algorithm achieves minimax-optimal regret independent of the ambient dimension $d$, thereby overcoming the curse of dimensionality. We also establish an impossibility result for adaptation: without additional assumptions, no policy can adapt to unknown smoothness levels. Under a standard self-similarity condition, however, we construct a policy that remains minimax-optimal while automatically adapting to the unknown smoothness. Finally, as the dimension $d$ increases, our algorithm continues to achieve minimax-optimal regret, revealing a phase transition that characterizes the fundamental limits of single-index bandit learning.